阿特伍德机 · 重力实验动态模拟

定滑轮两侧绳长守恒 · 滑轮转动惯量 · 张力差驱动角加速度
实验装置 比例尺 100 px = 1.00 m 滑轮半径 R = 0.30 m
地面 y = 0 定滑轮 初始高度 A 1.00 kg T mg B 2.00 kg T′ mg ↑ 上升 ↓ 下降 s = 0.00 m h / m
时间倍率 1.00×
实时物理量 绳长守恒校验 —
加速度 a
0.00m/s²
理论 —
速度 v
0.00m/s
静止
绳张力 TA
0.0N
A 侧
绳张力 TB
0.0N
B 侧
张力差 ΔT
0.00N
提供角加速度
位移 s
0.00m
A 上升 / B 下降
系统动能 Ek
0.00J
含滑轮转动
重力势能 Ep
0.00J
—
机械能 E
0.00J
耗散 0.00 J
时间 t
0.00s
RK4 子步 —
速度 — 时间
v(t) 实测 理论 v = a₀t
加速度 — 时间
a(t) 实测 理想 a₀=(mB−mA)g/(mA+mB)
能量转化
动能 Ek 势能 Ep 机械能 E
物理原理与判据

1 绳长约束 —— 系统只有一个自由度

绳不可伸长,A 上升多少,B 就下降多少。这把两个独立变量锁成一个,因此系统只有 1 个自由度:

(yA − y0) + (yB − y0) = 0 ⟹ yA + yB = 常数

右侧标尺旁的校验值即为绳长,模拟中它应当始终不变。原图把绳画成斜线是错的 —— 斜绳意味着存在水平分力,会把滑轮拽偏,绳长也不再守恒。

2 动力学方程(含滑轮转动惯量)

对 A 列牛顿第二定律(向上为正),对滑轮列转动方程 τ = Iα:

TA − mAg = mAa
mBg − TB = mBa
(TB − TA)R = I·(a/R)

消去两个张力得:

a = (mB − mA)g / (mA + mB + I/R²)

这解释了本实验最反直觉的一点:

TA = mA(g + a) ≠ TB = mB(g − a)
TB − TA = I·a / R² > 0

同一条绳两端张力不相等,差额全部用来转动滑轮。滑轮越重(I 越大),a 越小,两侧张力越接近。理想无质量滑轮时才回到 TA = TB。

3 能量核算

Ek = ½mAv² + ½mBv² + ½I(v/R)² // 第三项是滑轮的转动动能
E = Ek + mAghA + mBghB

把摩擦力矩和空气阻力调为 0 时,E 应当是一条水平直线(图三中灰线)。若它下滑,说明数值积分或约束出了问题 —— 这是检验代码正确性的强判据。

调节建议:把「轴摩擦力矩」和「空气阻力」都设为 0,再对比图中 a(t) 与理想值 —— 有质量滑轮时 a 必然小于理想值。 若想看到 mA > mB 时系统反向运动,点「交换 A/B」。

快捷键:空格 播放/暂停 R 重置 ↑↓ 微调时间倍率

实验预设
参数改动即时生效
物块 A 质量 mA1.00 kg
物块 B 质量 mB2.00 kg
滑轮质量 mp2.00 kg
均匀圆盘 I = ½mpR² → I/R² = ½mp
轴摩擦力矩 τ₀0.20 N·m
库仑摩擦,恒定反向力矩;静摩擦限值取 1.4τ₀
轴承粘滞阻尼 b0.00 N·m·s
空气阻力 ½ρCdA0.00 kg/m
二次阻力 F = ½ρCdA·v²,绳速越大越显著
初始速度 v₀0.00 m/s
正值为 B 向下运动;可用于观察往复与阻尼振荡
显示选项
物块尺寸按 m1/3 缩放(同密度下体积∝质量),仅作视觉区分。